Question

已知定點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（2，0），定直線l：x=

1

2

，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)P（x，y），欲求點(diǎn)P的軌跡方程，只須求出x，y之間的關(guān)系式即可，結(jié)合題中條件：“動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍”利用距離公式即得；
（II）先分類討論：①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)；②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，對(duì)于第①種情形，設(shè)BC的方程為y=k（x-2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合向量垂直的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得結(jié)論，從而解決問題．對(duì)于第②種情形，由于直線方程較簡(jiǎn)單，直接代入計(jì)算即可驗(yàn)證．

解答：解：（I）設(shè)P（x，y），則

(x-2)2+y2

=2|x-

1

2

|
化簡(jiǎn)得x²-

y2

3

=1（y≠0）；（4分）
（II）①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y=k（x-2）（k≠0）
與雙曲線x²-

y2

3

=1聯(lián)立消去y得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
由題意知3-k²≠0且△＞0
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則

x1+x2= 4k2 k2-3 x1x2= 4k2+3 k2-3

y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²（

4k2+3

k2-3

-

8k2

k2-3

+4）=

-9k2

k2-3

因?yàn)閤₁、x₂≠-1，所以直線AB的方程為y=

y1

x1+1

（x+1）
因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，

3y1

2(x1+1)

）

FM

=(-

3

2

，

3y1

2(x1+1)

)，
同理可得

FN

=(-

3

2

，

3y2

2(x2+1)

)
因此

FM

•

FN

=(-

3

2

)2+

9y1y2

2(x1+1)(x2+1)

=

4

9

+

-81k2 k2-3

4( 4k2+3 k2-3 + 4k2 k2-3 +1)

=0
②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，直線方程為x=2，則B（2，3），C（2，-3）
AB的方程為y=x+1，因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，

3

2

），

FM

=(-

3

2

，

3

2

)
同理可得

FN

=(-

3

2

，-

3

2

)
因此

FM

•

FN

=(-

3

2

)2+

3

2

×(-

3

2

)=0
綜上

FM

•

FN

=0，即FM⊥FN
故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、軌跡方程、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查平面解析幾何的思想方法及推理運(yùn)算能力．