Question

下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（　　）

• A、y=sinx
• B、y=2^x
• C、y=x³-x
• D、y=lg（x+

  1+x2

  ）

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：根據正弦函數，指數函數，奇偶性及單調性，以及通過導數判斷函數單調性的方法容易找到正確選項．

解答： 解：A．y=sinx在其定義域內不具有單調性；
B．y=2^x不是奇函數；
C．y=x³-x，y′=3x²-1，不能得出y′＞0，所以該函數在其定義域內不具有單調性；
D．y=lg(x+

1+x2

)，容易求出該函數定義域為R，令y=f（x），則f（-x）=lg(-x+

1+x2

)=lg

1

x+ 1+x2

=-lg(x+

1+x2

)=-f(x)；
∴該函數在其定義域R內是奇函數；
y′=

1

1+x2 ln10

＞0，∴該函數在其定義域內是增函數．
故選D．

點評：考查正弦函數的奇偶性，單調性，奇偶性的定義，利用導數判斷函數的單調性．