Question

已知向量，，函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）說明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用向量的數(shù)量積，通過二倍角公式與兩角差的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)我一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與x∈[0，π]取交集，即可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
法二通過x的范圍，求出2x-的范圍，然后利用函數(shù)的最值時(shí)的2x-的值，即可得到單調(diào)增區(qū)間．
（3）利用左加右減，與伸縮變換的原則，直接說明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經(jīng)過變換而得到．
解答：解：（1）∵=
=      2分
∴f（x）=1-=，…（3分）
∴f（x）=．…（4分）
（2）由，
解得，…（6分）
∵取k=0和1且x∈[0，π]，得和，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和．…（8分）
法二：∵x∈[0，π]，∴，
∴由和，…（6分）
解得和，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和．…（8分）
（3）g（x）=sinx的圖象可以經(jīng)過下面三步變換得到f（x）=的圖象：g（x）=sinx的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），最后把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到f（x）=的圖象．…（14分）（每一步變換2分）
點(diǎn)評：本題借助向量的數(shù)量積的化簡，求解函數(shù)的解析式，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象的變換．