Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，e²]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，即使f′（x）在[1，+∞）上有解，然后利用分離法求出a的范圍即可；
（2）討論a的范圍，從而確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)f（x）在[e，e²]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值．

解答：解：f′（x）=

ax-1

ax<sup>2</sup>

（x＞0）…（2分）
（1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a=

1

x

在（1，+∞）上有解，
又∵當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，

1

x

＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范圍是（0，1）…（6分）
（2）①當(dāng)a≥

1

e

時(shí)，因?yàn)閒′（x）＞0在（e，e²）上恒成立，這時(shí)f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
所以當(dāng)x=e時(shí)，f（x）_min=f（e）=1+

1-e

ae

 …（8分）
②當(dāng)0＜a≤

1

e2

時(shí)，因?yàn)閒′（x）＜0在（e，e²）上恒成立，這時(shí)f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
所以，當(dāng)x=e²時(shí)，f（x）_min=f（e²）=2+

1-e2

ae2

，…（10分）
③當(dāng)

1

e2

＜a＜

1

e

時(shí)，令f′（x）=0得，x=

1

a

∈（e，e²），
又因?yàn)閷?duì)于x∈（e，

1

a

）有f′（x）＜0，
對(duì)于x∈（

1

a

，e²）有f′（x）＞0，
所以當(dāng)x=

1

a

時(shí)，f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

…（14分）
綜上，f（x）在[e，e²]上的最小值為
f（x）_min=

1+ 1-e ae ，當(dāng)a≥ 1 e 時(shí) ln 1 a +1- 1 a ，當(dāng) 1 e2 ＜a＜ 1 e 時(shí) 2+ 1-e2 ae2 ，當(dāng)0＜a＜ 1 e2 時(shí)

…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．