Question

已知三棱柱ABC-A′B′C′，側(cè)棱與底面垂直，且所有的棱長均為2，E為AA′的中點，F(xiàn)為AB的中點．
（Ⅰ）求多面體ABCB′C′E的體積；
（Ⅱ）求異面直線C'E與CF所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）分別求出直三棱柱ABC-A′B′C′的體積V．三棱錐E-A′B′C′的體積V₁．即可得出多面體ABCB′C′E的體積=V-V₁；
（II）如圖所示，取A′B′的中點D，連接C′D，DF，DE．可得四邊形CFDC′是矩形．C′D∥CF．因此∠EC′D即是異面直線C′E與CF所成角．

解答： 解：（I）直三棱柱ABC-A′B′C′的體積V=

3

4

×22×2=2

3

．
三棱錐E-A′B′C′的體積V₁=

1

3

S△A′B′C′•A′E=

1

3

×

3

4

×22×1=

3

3

．
∴多面體ABCB′C′E的體積=V-V₁=

5 3

3

；
（II）如圖所示，取A′B′的中點D，連接C′D，DF，DE．
可得四邊形CFDC′是矩形．
∴C′D∥CF．
∴∠EC′D即是異面直線C′E與CF所成角．
在Rt△C′DE中，C′D=

3

，C′E=

5

．
∴cos∠EC′D=

C′D

C′E

=

3

5

=

15

5

．
∴異面直線C′E與CF所成角的余弦值為

15

5

．

點評：本題考查了直三棱柱的體積及其性質(zhì)、異面直線所成的角、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．