Question

18．已知冪函數(shù)$y={x}^{{p}^{2}-2p-3}$（p∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)a滿足$（{a}^{2}-1）^{\frac{p}{3}}＜（3a+3）^{\frac{p}{3}}$，則a的取值范圍是（1，4）．

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出p的值，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式解出即可．

解答 解：∵冪函數(shù)$y={x}^{{p}^{2}-2p-3}$（p∈N^*）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴p²-2p-3＜0，解得-1＜p＜3，
∵p∈N^*，
∴p=1或2．
當(dāng)p=1時(shí)，y=x^-4為偶函數(shù)滿足條件，
當(dāng)p=2時(shí)，y=x^-3為奇函數(shù)不滿足條件，
則不等式等價(jià)為$（{a}^{2}-1）^{\frac{p}{3}}＜（3a+3）^{\frac{p}{3}}$，即${{（a}^{2}-1）}^{\frac{1}{3}}$＜${（3a+3）}^{\frac{1}{3}}$，
∵y=x$\frac{1}{3}$在（-∞，0）和（0，+∞）上都為增函數(shù)，
∴a²-1＜3a+3＜0或0＜a²-1＜3a+3，
解得：1＜a＜4，
故答案為：（1，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出冪函數(shù)的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．