Question

討論f(x)=

ax

1+x2

（a≠0，a為常數(shù)）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：根據(jù)基本不等式，可得

1

x

+x≥2在（0，+∞）恒成立，得到當且僅當x=1時t=

1

1 x +x

在（0，+∞）上有最大值等于

1

2

．而f（x）=a•

1

1 x +x

，由函數(shù)單調(diào)性的運算法則討論a的正數(shù)，可得函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．

解答：解：由于x∈（0，1），可得f(x)=

ax

1+x2

=

a

1 x +x

∵

1

x

+x≥2

1 x •x

=2，∴當且僅當

1

x

=x，即x=1時

1

x

+x有最小值2
由此可得t=

1

1 x +x

在x=1時有最大值

1

2

函數(shù)t=

1

1 x +x

在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)
∴當a＞0時，函數(shù)f（x）=

a

1 x +x

在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)；
當a＜0時，函數(shù)f（x）=

a

1 x +x

在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)
即當a＞0時，f(x)=

ax

1+x2

在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，當a＜0時，f(x)=

ax

1+x2

在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)．

點評：本題給出含有字母參數(shù)的分式函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性．著重考查了運用基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性的討論與證明等知識，屬于中檔題．