在三棱錐P—ABC中,給出下列四個(gè)命題:

①如果PA⊥BC,PB⊥AC,那么點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心;

②如果點(diǎn)P到△ABC的三邊所在直線的距離都相等,那么點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的內(nèi)心;

③如果棱PA和BC所成角為60°,PA=BC=2,E、F分別是棱PB、AC的中點(diǎn),那么EF=1;

④如果三棱錐P—ABC的各條棱長(zhǎng)均為1,則該三棱錐在任意一個(gè)平面內(nèi)的射影的面積都不大于.

其中正確命題的序號(hào)是__________.

①④  作PO⊥面ABC，連結(jié)AO，BO，CO，

∵PA⊥BC，PB⊥AC，∴AO⊥BC，

BO⊥AC，∴O為△ABC的垂心,

故①正確.

②中若△ABC為鈍角三角形,點(diǎn)P在平面ABC的射影是△ABC的旁心,

∴②錯(cuò).

③中取AB中點(diǎn)M,連ME,MF,EF,則MEAP,MFBC,∴ME=MF=1,

∠EMF=60°或120°,故EF=1或3,

∴③錯(cuò).

對(duì)于④,把棱長(zhǎng)為1的三棱錐放入一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中,如圖所示,顯然它在平面內(nèi)的射影最大的是底面正方形,其面積為,故④正確.∴只有①④符合要求.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=
2
PC=
2
AC=
2
BC．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC； 
（Ⅱ）求二面角P-AB-C所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐P-ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，PA=1  面PAB⊥面CAB，面PAC⊥面CAB，則三棱錐P-ABC的體積是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）若∠BAC=
π3
，AB=AC=PA=2，E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn)，求線段EF的長(zhǎng)；
（2）求證：“∠PBC=90°”的充要條件是“平面PBC⊥平面PAB”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•蚌埠二模）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點(diǎn)．
（I）求證：DE∥面PBC；
（II）求證：AB⊥PE；
（III）求三棱錐B-PEC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示．
（1）證明：AD⊥平面PBC；
（2）求三棱錐D-ABC的體積．

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