Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點，∠F₁PF₂=60°
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）求△F₁PF₂的面積僅與橢圓的短軸長有關．

Answer 1

分析：（1）設|PF₁|=m，|PF₂|=n．根據(jù)橢圓的定義和余弦定理，建立關于m、n的方程組，聯(lián)解可得m、n關于a、c的式子，再根據(jù)基本不等式得mn≤a²，建立關于a、c的不等式，變形整理即可得到橢圓離心率的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可算出△F₁PF₂的面積等于

3

3

b²，由此可得△F₁PF₂的面積僅與橢圓的短軸長有關．

解答：解：（1）設|PF₁|=m，|PF₂|=n
則根據(jù)橢圓的定義，得m+n=2a，…．①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°
∴由余弦定理，得m²+n²-mn=4c²…．②
①②聯(lián)解，得mn=

4(a2-c2)

3

又∵mn≤(

m+n

2

)2=a2，
∴

4(a2-c2)

3

≤a²，化簡整理，得a²＜4c²，解之得

1

2

≤e＜1
即橢圓離心率的取值范圍是[

1

2

，1）
（2）由（1），得mn=

4(a2-c2)

3

=

4

3

b²
∴

S

△F1PF2

=

1

2

mnsin60°=

3

3

b2
面積表達式中的字母只含有b，可得△F₁PF₂的面積僅與橢圓的短軸長有關．

點評：本題給出橢圓上一點與橢圓兩個焦點構(gòu)成的三角形，求三角形的面積并討論橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與簡單性質(zhì)、基本不等式求最值和用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．