Question

17．如圖，已知圓O：x²+y²=4和圓M：（x-3）²+（y-2）²=1．若直線l被圓O和圓M截得的弦長的比為2，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意，圓心到直線的距離比為2，求出b=2-$\frac{3}{2}$k，利用$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，即可求直線l的斜率的取值范圍．

解答 解：由題意，設(shè)圓心到直線的距離分別為m，n，則$\frac{\sqrt{4-{m}^{2}}}{\sqrt{1-{n}^{2}}}$=2，
∴$\frac{m}{n}$=2，
∴圓心到直線的距離比為2
設(shè)直線的方程為y=kx+b，即kx-y+b=0，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2×$\frac{|3k-2+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴|b|=|3k-2+b|，
∴b=2-$\frac{3}{2}$k
∵$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，
∴|b|＜2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴|2-$\frac{3}{2}$k|＜2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴k＜-$\frac{24}{7}$或k＞0．

點(diǎn)評 本題考查求直線l的斜率的取值范圍，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．