已知二次函數(shù)y=f(x)在x=2處取得極值．

(Ⅰ)若f(x)在[-4,4]上的最大值為18，最小值為-18，求f(x)的解析式；

(Ⅱ)若曲線y=f(x)在A[1,f(1)]、D[3，f(3)]處的兩條切線l1、l2，交于點(diǎn)C，且f′(1)=-2，求△ABC的面積.

解：(Ⅰ)依題意，設(shè)f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)

當(dāng)a＞0時(shí)，則f(-4)=18，f(-2)=-18，

∴解得a=1,b=-18

當(dāng)a＜0時(shí)，則f(2)=18，f(-4)=-18，

∴解得a=-1，b=18

∴所求解析式為

f(x)=x2=4x-14或f(x)=-x2+4x+14

 (Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax2-4ax+4a+b

f′(x)=2ax-4a

f′(1)=-2，∴2a-4a=-2，∴a=1

∴f(1)=1+b，f(3)=1+b即A(1，1+b)，B(3，1+b)

f′(3)=6a-4a=2

設(shè)l1、l2的方程為：y-(1+b)=-2(x-1)

y-(1+b)=2(x-3)

上式聯(lián)立解得y=b-1

即C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b-1

∴△ABC的AB邊上的高h(yuǎn)=|(b-1)-(1+b)|=2

又|AB|=2

∴△ABC的面積S=·|AB|·h=2

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象過點(diǎn)（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f(sinx)，x∈[0，
π2
]的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）圖象的頂點(diǎn)是（-1，3），又f（0）=4，一次函數(shù)y=g（x）的圖象過（-2，0）和（0，2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＞3g（x）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且在x軸上截得的線段長為2．若f（x）的最小值為-1，求：
（1）函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示：
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式f（x）＞0的解集；
（3）若方程|f（x）|=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)函數(shù)圖象及變換知識(shí)，求k的取值的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=f（x）=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），且函數(shù)y=f(x-
12
)是偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x2-13]•|x|，求函數(shù)g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；
（3）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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