Question

加試題：已知曲線，過(guò)P₁（1，0）作y軸的平行線交曲線C于Q₁，過(guò)Q₁作曲線C的切線與x軸交于P₂，過(guò)P₂作與y軸平行的直線交曲線C于Q₂，照此下去，得到點(diǎn)列P₁，P₂，…，和Q₁，Q₂，…，設(shè)，．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：b₁+b₂+…+b_n＞2ⁿ-2^-n；
（3）求證：曲線C與它在點(diǎn)Q_n處的切線，以及直線P_n+1Q_n+1所圍成的平面圖形的面積與正整數(shù)n的值無(wú)關(guān)．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題由導(dǎo)數(shù)可求出過(guò)點(diǎn)Q_n的直線方程，即直線Q_nP_n+1的方程，進(jìn)而可以求出點(diǎn)Q_n與點(diǎn)Q_n+1之間橫坐標(biāo)的關(guān)系x_n+1=2x_n，從而可求出x_n的通項(xiàng)公式，由由于數(shù)列a_n與y_n相等，故將x_n通項(xiàng)公式代入函數(shù)解析式即可求解．
（2）借助（1）中的x_n和y_n與a_n的等式關(guān)系，可知Q_n和Q_n+1坐標(biāo)，由此求出b_n的通項(xiàng)公式，并借助不等式a²+b²≥2ab的推導(dǎo)公式2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²的變式≥a+b進(jìn)行放縮后，由等比數(shù)列求和公式即可證明其結(jié)論．
（3）由圖形可知，所求面積的圖形為不規(guī)則的曲邊三角形，故可結(jié)合定積分的幾何意義來(lái)借助定積分計(jì)算公式進(jìn)行面積的計(jì)算．
解答：解：（1）∵．
設(shè)Q_n（x_n，y_n），則直線Q_nP_n+1的方程為，
令y=0，得x_n+1=x_n+x_n²y_n，∵x_ny_n=1，∴x_n+1=2x_n，
則數(shù)列{x_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，于是x_n=2^n-1．
從而．
（2）∵，
∴=
=
=．
利用2（a²+b²）≥（a+b）²（a＞0，b＞0），
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，得．
于是
=
=．
（3）曲邊三角形Q_nP_n+1Q_n+1是由曲線與直線P_n+1Q_n+1、切線Q_nP_n+1所圍成的圖形．于是
==
==
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列，導(dǎo)數(shù)，定積分，不等式證明的綜合應(yīng)用的能力，綜合能力要求較強(qiáng)，尤其是第二小問(wèn)的證明，學(xué)生易在放縮的這步出現(xiàn)解題困難．