已知函數(shù)f(x)=
x2+4xx≥0
4x-x2x＜0

（1）判斷函數(shù)f（x）奇偶性與單調(diào)性，并說明理由；
（2）若f（2-a2）＞f（a），求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）要判斷函數(shù)f（x）奇偶性，關鍵是要判斷f（-x）與f（x）的關系，我們可以根據(jù)分段函數(shù)分段處理的辦法，分x＞0，x=0，x＜0三種情況討論，而要判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，我們可以利用導數(shù)法判斷函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上的單調(diào)性，進而根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，得到結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論，我們根據(jù)單調(diào)性的定義，可將不等式化為關于a的整式不等式，進而求出實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)為f（x）奇函數(shù)
∵函數(shù)f(x)=
x2+4xx≥0
4x-x2x＜0

當x＞0時，-x＜0
∴f（-x）=4（-x）-（-x）2=-（x2+4x）=-f（x）
當x=0時，-x=0
∴f（-x）=0=-f（x）
當x＜0時，-x＞0
∴f（-x）=（-x）2+4（-x）-=-（4x-x2）=-f（x）
故f（-x）=-f（x）恒成立
故函數(shù)為f（x）奇函數(shù)
在區(qū)間[0，+∞）上，f'（x）=2x+4＞0恒成立
故f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增
又由奇函數(shù)的性質(zhì)，我們易得函數(shù)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)
（2）由函數(shù)f(x)=
x2+4xx≥0
4x-x2x＜0

是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)
故f（2-a2）＞f（a），
可化為2-a2＞a
解得：-2＜a＜1
點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及單調(diào)性的應用，而分段函數(shù)分段處理，是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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