Question

【題目】已知函數(shù)， ， 為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在點處的切線為，求的值；

（2）當時，若在區(qū)間上有兩個零點,，試判斷， ， 的大小關系.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接利用導數(shù)的幾何意義求出的值. (2)第（2）問，先研究函數(shù)g(x)在的單調(diào)性得到它的兩個零點的范圍， ， ，再作差比較和的大小，最后利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較和的大小.

試題解析：

（1）由題意，知， .

因為，所以，即.

又因為，所以.

（2）由題意，知.

因為， ，由，得或.

當時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；

所以的極小值為.

因為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.

又因為， ，所以存在，使得，所以存在，使得，且，所以，即.

當時， ， .

令， ，則，設，

則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，

所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，

所以當時， .

又因為， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以

所以.