Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}，已知a₁=4，b₁=3，c₁=5，a_n+1=a_n，b_n+1=

an+cn

2

，c_n+1=

an+bn

2

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{c_n-b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：對(duì)任意n∈N^*，b_n+c_n為定值；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求出求數(shù)列{c_n-b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：對(duì)任意n∈N^*，b_n+c_n為定值；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閍_n+1=a_n，a₁=4，所以a_n=4，
所以b_n+1=

an+cn

2

=

4+cn

2

=

cn

2

+2，c_n+1=

an+bn

2

=

bn

2

+2，
c_n+1-b_n+1=

1

2

(bn-cn)=-

1

2

(cn-bn)，
即數(shù)列{c_n-b_n}是首項(xiàng)為2，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
所以c_n-b_n=2•(-

1

2

)n-1．
（2）b_n+1+c_n+1=

1

2

(bn+cn)+4，
因?yàn)閎₁+c₁=8，所以b₂+c₂=8，b₃+c₃=8，
猜測(cè)：b_n+c_n=8，
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，b₁+c₁=8，結(jié)論成立；   
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即b_k+c_k=8，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
b_k+1+c_k+1=

1

2

（b_k+c_k）+4=8，即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立． 
由①，②得，當(dāng)n∈N^•時(shí)，b_n+c_n=8恒成立，即b_n+c_n恒為定值．
（3）由（1）、（2）知

bn+cn=8 cn-bn=2(- 1 2 )n-1

，
所以cn=4+2?(-

1

2

)n-1，
所以Sn=4n+

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

=4n+

2

3

[1-(-

1

2

)n]，
所以p（S_n-4n）=

2p

3

[1-(-

1

2

)n]，
由p（S_n-4n）∈[1，3]得1≤

2p

3

[1-(-

1

2

)n]≤3，
因?yàn)?-（-

1

2

）ⁿ＞0，
所以

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

1

1-(- 1 2 )n

=

1

1+( 1 2 )n

隨n的增大而遞增，且0＜

1

1-(- 1 2 )n

＜1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

1

1-(- 1 2 )n

=

1

1-( 1 2 )n

隨n的增大而遞減，且0

1

1-(- 1 2 )n

＞1，
所以，

1

1-(- 1 2 )n

的最大值為

4

3

，

3

1-(- 1 2 )n

的最小值為2．  
由

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，得

4

3

≤

2p

3

≤2，
解得2≤p≤3，
所以，所求實(shí)p的取值范圍是[2，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．