如圖,有一塊邊長為1(百米)的正方形區(qū)域ABCD,在點A處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角∠PAQ始終為45°(其中點P,Q分別在邊BC,CD上),設(shè)∠PAB=θ,tanθ=t.
(1)用t表示出PQ的長度,并探求△CPQ的周長l是否為定值.
(2)問探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S至多為多少(平方百米)?
分析:(1)利用已知條件,結(jié)合直角三角形,直接用t表示出PQ的長度,然后推出△CPQ的周長l為定值.
(2)利用S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ,推出探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S,利用基本不等式求出面積的最小值(平方百米).
解答:解:(1)BP=t,0≤t≤1,
∠DAQ=45°-θ,DQ=tan(45°-θ)=
1-t
1+t
,
CQ=1-
1-t
1+t
=
2t
1+t
,
∴PQ=
CP2+CQ2
=
(1-t)2+(
2t
1+t
)
2
=
1+t2
1+t

∴l(xiāng)=CP+CQ+PQ
=1-t+
2t
1+t
+
1+t2
1+t

=1-t+1+t=2.
(2)S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ
=1-
t
2
-
1
2
1-t
1+t
=2-
1
2
(t+1+
2
t+1
)

≤2-
2

當t=
2
-1
時取等號.
探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S至多為2-
2
(平方百米).
點評:本題考查三角形的實際應(yīng)用,函數(shù)值的求法,基本不等式的應(yīng)用,考查計算能力.
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(1)將S表示成t的函數(shù);
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