Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，an+1＝2Sn+3(n∈N*)．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn＝log3an，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn＜1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由，可得，兩式相減得，即，為從第2項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，求得，驗(yàn)證首項(xiàng)是否適合即可得結(jié)果；（2）由（1）知，可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，再由放縮法可得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>an+1＝2Sn+3， ①

an＝2Sn-1+3． ②

①-②得an+1-an＝2an，即an+1＝3an(n≥2)，

所以{an}為從第2項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列，且公比q＝3，

又a1＝3，所以a2＝9，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3n(n≥2)．

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n．

（2）由（1）知bn＝log3an＝log33n＝n，

所以，

所以

得證．