Question

設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)A，x軸上有一點(diǎn)Q（2a，0），若雙曲線上存在點(diǎn)P，使AP⊥PQ，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．

Answer 1

1＜e＜
分析：點(diǎn)P（m，n），根據(jù)⊥利用數(shù)量積為零算出（m-a）（2a-m）-n²=0，結(jié)合點(diǎn)P（m，n）在雙曲線上消去n，得關(guān)于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b²（）=0，此方程的一個(gè)根為a，而另一個(gè)根為大于a的實(shí)數(shù)，由此建立關(guān)于a、b、c不等式關(guān)系，化簡(jiǎn)整理即可得到離心率e的取值范圍．
解答：設(shè)點(diǎn)P（m，n），可得=（m-a，n），=（2a-m，-n）
∵AP⊥PQ，
∴•=（m-a）（2a-m）-n²=0…（1）
又∵P（m，n）在雙曲線上
∴，得n²=b²（）…（2）
將（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b²（）=0
化簡(jiǎn)整理，得-m²+3am+c²-3a²=0
此方程的一根為m₁=a，另一根為m₂=．
∵點(diǎn)P是雙曲線上異于右頂點(diǎn)A的一點(diǎn)，
∴＞a，得3a²＞2c²，即e²＜
由此可得雙曲線的離心率e滿足1＜e＜
故答案為：1＜e＜
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上存在一點(diǎn)P，到A（a，0）和Q（2a，0）所張的角等于90度，求雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與雙曲線關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．