Question

如圖所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為2的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為2的圓，那么這個(gè)幾何體的內(nèi)接長(zhǎng)方體的最大體積為

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，該幾何體是底面直徑與高都等于2的圓柱，內(nèi)接長(zhǎng)方體的高等于2，底面是圓柱底面圓的內(nèi)接矩形．利用圓內(nèi)接矩形的性質(zhì)與基本不等式，算出當(dāng)矩形的兩邊長(zhǎng)都為

2

時(shí)，底面矩形有最大面積2，由此可得該幾何體的內(nèi)接長(zhǎng)方體的最大體積．

解答：解：根據(jù)題中的三視圖，可得該幾何體是底面直徑與高都等于2的圓柱，
幾何體的內(nèi)接長(zhǎng)方體的高等于圓柱的高，底面矩形是圓柱底面圓的內(nèi)接矩形，
由于圓柱的高為定值2，可得當(dāng)?shù)酌婢匦蚊娣e最大時(shí)，內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積有最大值．
設(shè)長(zhǎng)方體的底面矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為

22-x2

=

4-x2

，
∴矩形的面積S=x

4-x2

=

x2•(4-x2)

≤

1

2

[x²+（4-x²）]=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=4-x²即x=

2

時(shí)，等號(hào)成立．因此矩形的兩邊長(zhǎng)都為

2

時(shí)，矩形有最大面積2，
可得內(nèi)接長(zhǎng)方體的最大體積為V_max=s_max×h=2×2=4
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓柱的三視圖的形狀，求圓柱內(nèi)接長(zhǎng)方體的最大體積．著重考查了柱體的體積公式、三視圖的認(rèn)識(shí)、圓內(nèi)接矩形的性質(zhì)和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．