已知橢圓的左右兩焦點分別為，是橢圓上一點，且在軸上方，．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）當取最大值時，過的圓的截軸的線段長為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準線上任一點引圓的兩條切線，切點分別為．試探究直線是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．
（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）由,,.即可求得的取值范圍.
(2)由（1）可得.以及是圓的直徑可得.即可求出橢圓的方程.
（3）由（2）可得圓Q的方程.切點M,N所在的圓的方程上任一點坐標為P（x,y）.由.即得.則M,N所在的直線方程為.兩圓方程對減即可得到.根據(jù)過定點的知識即可求出定點.本題涉及的知識點較多，滲透方程的思想，加強對幾何圖形的關系理解.
試題解析： ， ∴，．
(1)，∴,在上單調(diào)遞減．
∴時，最小，時，最大，∴，∴．
(2)當時，，∴，∴．
∵,∴是圓的直徑，圓心是的中點，∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴=6．又，∴．∴橢圓方程是    10分
（3）由（2）得到，于是圓心,半徑為3，圓的方程是．橢圓的右準線方程為，,∵直線AM,AN是圓Q的兩條切線，∴切點M,N在以AQ為直徑的圓上．設A點坐標為，∴該圓方程為．∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減得：，這就是直線MN的方程．該直線化為：
∴直線MN必過定點．                     16分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點,離心率為．
(1)求橢圓C的方程：
(2)過點Q(1,0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點,點P(4,3),記直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,當k1·k2最大時,求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

定義：對于兩個雙曲線,,若的實軸是的虛軸，的虛軸是的實軸，則稱,為共軛雙曲線.現(xiàn)給出雙曲線和雙曲線，其離心率分別為.
（1）寫出的漸近線方程（不用證明）；
（2）試判斷雙曲線和雙曲線是否為共軛雙曲線？請加以證明.
（3）求值：.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點．
（1）如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；
（2）如果·＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，長軸長為，直線交橢圓于不同的兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若直線不經(jīng)過橢圓上的點，求證：直線的斜率互為相反數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
(1)求橢圓方程；
(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，當面積最大時，求

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓：的左、右焦點分別是、，下頂點為，線段的中點為（為坐標原點），如圖.若拋物線：與軸的交點為，且經(jīng)過、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于、兩點，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設AB是橢圓的長軸，點C在橢圓上，且，若AB=4，，則橢圓的兩個焦點之間的距離為________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

以拋物線的焦點為圓心，且與雙曲線的兩條漸近線都相切的圓的方程為        .

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