Question

14．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為120°求：
（1）（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）
（2）|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|
（3）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 根據(jù)已知首先求出向量的數(shù)量積，（1）展開用向量的平方和數(shù)量積表示，代入數(shù)值計(jì)算；
（2）先求其平方，展開，利用向量的平方和數(shù)量積計(jì)算數(shù)值，然后開方求模；
（3）設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ，利用數(shù)量積公式得到cosθ的值，從而求向量的夾角．

解答 解：由題意可得|$\overrightarrow{a}$|²=16，|$\overrightarrow$|²=4，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos120°=-4，
（1））（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=16-8+4=12；
（2）|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=4${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=64+16+4=84，所以|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2$\sqrt{21}$；
（3）設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{4×\sqrt{16-8+4}}=\frac{16-4}{4×2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0°≤θ≤180°，所以θ=30°，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的夾角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、模的求法向量的夾角求法；關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積公式，靈活運(yùn)用．