Question

已知函數(shù)，其中且.

（1）討論的單調(diào)性；

(2) 若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（3）若方程存在兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，，求證：

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先求函數(shù)的定義域，對(duì)求導(dǎo)，由于，所以討論a的正負(fù)，利用的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二問(wèn)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，當(dāng)時(shí)舉一反例證明不恒成立，當(dāng)時(shí)，將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值；第三問(wèn)，要證，需證，令，利用函數(shù)的單調(diào)性，解出的大小.

(１)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719065482643270/SYS201411171907064049327888_DA/SYS201411171907064049327888_DA.015.png">.

其導(dǎo)數(shù) 2分

①當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上是增函數(shù);

②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,;在區(qū)間(0,+∞)上,．

所以,在是增函數(shù),在(0,+∞)是減函數(shù). 4分

(２)當(dāng)時(shí), 則取適當(dāng)?shù)臄?shù)能使，比如取，

能使, 所以不合題意 6分

當(dāng)時(shí)，令,則

問(wèn)題化為求恒成立時(shí)的取值范圍.

由于

在區(qū)間上,;在區(qū)間上,. 8分

的最小值為,所以只需

即,, 10分

(３)由于存在兩個(gè)異號(hào)根，不仿設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719065482643270/SYS201411171907064049327888_DA/SYS201411171907064049327888_DA.048.png">,所以 11分

構(gòu)造函數(shù):()

所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù). ,則,

于是,又,,由在上為減函數(shù)可知.即 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.