已知f(x)=lnx+2-x,若x>0,f(x)<a2恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
(-∞,-1)∪(1,+∞)
分析:若x>0,f(x)<a
2恒成立等價(jià)于:若x>0,f(x)
max<a
2.利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,極值點(diǎn),從而確定函數(shù)的最值,進(jìn)而解不等式即可.
解答:由題意,若x>0,f(x)<a
2恒成立等價(jià)于:若x>0,f(x)
max<a
2.

,當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f
′(x)<0
∴x=1時(shí),f(x)取得最大值1
∴1<a
2.
∴a<-1或a>1
故答案為:(-∞,-1)∪(1,+∞)
點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題,考查利用最值法解決恒成立問題,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,其中x>0,f(x)<a
2恒成立轉(zhuǎn)化為:若x>0,f(x)
max<a
2是解題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知f(x)=lnx,
g(x)=x+(a∈R).
(1)求f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x≥1時(shí),f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)n∈N
*,n≥2時(shí),證明:
••…•<.
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