對于定義域為的函數(shù),若有常數(shù)M,使得對任意的,存在唯一的滿足等式,則稱M為函數(shù)f (x)的“均值”.
(1)判斷1是否為函數(shù)≤≤的“均值”,請說明理由;
(2)若函數(shù)為常數(shù))存在“均值”,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)是單調(diào)函數(shù),且其值域為區(qū)間I.試探究函數(shù)的“均值”情況(是否存在、個數(shù)、大小等)與區(qū)間I之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論(不必證明).
說明:對于(3),將根據(jù)結(jié)論的完整性與一般性程度給予不同的評分
解:(1)對任意的,有,
當且僅當時,有,
故存在唯一,滿足, ……………………2分
所以1是函數(shù)的“均值”. ……………………4分
(另法:對任意的,有,令,
則,且, [來源:]
若,且,則有,可得,
故存在唯一,滿足, ……………………2分
所以1是函數(shù)的“均值”. ……………………4分)
(2)當時,存在“均值”,且“均值”為;…………5分
當時,由存在均值,可知對任意的,
都有唯一的與之對應,從而有單調(diào),
故有或,解得或或, ……………………9分
綜上,a的取值范圍是或. ……………………10分
(另法:分四種情形進行討論)
(3)①當I 或時,函數(shù)存在唯一的“均值”.
這時函數(shù)的“均值”為; …………………12分
②當I為時,函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”.
這時任意實數(shù)均為函數(shù)的“均值”; ……………………14分
③當I 或或或或或時,
函數(shù)不存在“均值”. ……………………16分
[評分說明:若三種情況討論完整且正確,但未用等價形式進行敘述,至多得6分;若三種情況討論不完整,且未用等價形式敘述,至多得5分]
①當且僅當I形如、其中之一時,函數(shù)存在唯一的“均值”.
這時函數(shù)的“均值”為; ……………………13分
②當且僅當I為時,函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”.
這時任意實數(shù)均為函數(shù)的“均值”; ……………………16分
③當且僅當I形如、、、、、其中之一時,函數(shù)不存在“均值”. ……………………18分
(另法:①當且僅當I為開區(qū)間或閉區(qū)間時,函數(shù)存在唯一的“均值”.這時函數(shù)的均值為區(qū)間I兩端點的算術(shù)平均數(shù); ……………………13分
②當且僅當I為時,函數(shù)存在無數(shù)多個“均值”.這時任意實數(shù)均為函數(shù)的“均值”; ……………………16分
③當且僅當I為除去開區(qū)間、閉區(qū)間與之外的其它區(qū)間時,函數(shù)不存在“均值”. ……………………18分)
[評分說明:在情形①與②中,等價關(guān)系敘述正確但未正確求出函數(shù)“均值”,各扣1分]
【解析】略
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
對于定義域為的函數(shù),若同時滿足:①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域為;那么把函數(shù)()叫做閉函數(shù).
(1) 求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間;
(2) 若是閉函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本題滿分14分)定義:對于函數(shù),.若對定義域內(nèi)的恒成立,則稱函數(shù)為函數(shù).(1)請舉出一個定義域為的函數(shù),并說明理由;(2)對于定義域為的函數(shù),求證:對于定義域內(nèi)的任意正數(shù),均有;
(3)對于值域的函數(shù),求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011屆上海市盧灣區(qū)高考模擬考試數(shù)學試卷(理科) 題型:解答題
對于定義域為的函數(shù),若有常數(shù)M,使得對任意的,存在唯一的滿足等式,則稱M為函數(shù)f (x)的“均值”.
(1)判斷1是否為函數(shù)≤≤的“均值”,請說明理由;
(2)若函數(shù)為常數(shù))存在“均值”,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)是單調(diào)函數(shù),且其值域為區(qū)間I.試探究函數(shù)的“均值”情況(是否存在、個數(shù)、大小等)與區(qū)間I之間的關(guān)系,寫出你的結(jié)論(不必證明).
說明:對于(3),將根據(jù)結(jié)論的完整性與一般性程度給予不同的評分
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆廣東省高一下學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
對于定義域為的函數(shù),若存在區(qū)間,使得則稱區(qū)間M為函數(shù)的“等值區(qū)間”.給出下列三個函數(shù):
①; ②; ③
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是___________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年上海市崇明縣高三第一學期期末考試數(shù)學 題型:填空題
定義:對于定義域為的函數(shù),如果存在,使得成立,稱函數(shù)在上是“”函數(shù)。已知下列函數(shù):①;、;③();、,其中屬于“”函數(shù)的序號是 .(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號)
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