Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n-1）（n≥2，n∈N⁺）．
（Ⅰ）若，數(shù)列{b_n}滿足，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若，數(shù)列{a_n}中是否存在最大項與最小項，若存在，求出最大項與最小項；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若1＜a₁＜2，試證明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)中的函數(shù)式，求得a_n和a_n-1的遞推式，進而利用b_n-b_n-1=1判斷出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）可求得，數(shù)列{b_n}的通項公式，則b_n可得，通過對函數(shù)求導(dǎo)判斷出則函數(shù)在區(qū)間，上為減函數(shù)．且在上遞減，故當n=3時，a_n取最小值進而可知當時，，且在上遞減，故當n=4時，a_n取最大值．
（Ⅲ）先看當n=1時等式成立，再看n≥2時，假設(shè)n=k時命題成立，即1＜a_k＜2，則當n=k+1時，，則1＜a_k+1＜2，故當n=k+1時也成立．進而a_n+1-a_n＜0判斷出a_n+1＜a_n．
最后綜合可證明原式．
解答：解：∵，則（n≥2，nÎN^*）．
（Ⅰ），，
∴．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項，公差為1，
則其通項公式，
由得，
故．
考查函數(shù)，
則．
則函數(shù)在區(qū)間，上為減函數(shù)．
∴當時，，
且在上遞減，故當n=3時，a_n取最小值
∴；
當時，，
且在上遞減，故當n=4時，a_n取最大值．故存在．

（Ⅲ）先用數(shù)學(xué)歸納法證明1＜a_n＜2，再證明a_n+1＜a_n．
①當n=1時，1＜a₁＜2成立，
②假設(shè)n=k時命題成立，即1＜a_k＜2，
則當n=k+1時，，，則1＜a_k+1＜2，故當n=k+1時也成立．
綜合①②有，命題對任意nÎN^*時成立，即1＜a_n＜2．下證a_n+1＜a_n．
∵，
∴a_n+1＜a_n．
綜上所述：1＜a_n+1＜a_n＜2．
點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，數(shù)學(xué)歸納法的證明方法．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和基本的推理能力．