Question

已知坐標平面上一點M（x，y）與兩個定點M₁（26，1），M₂（2，1），且

|MM1|

|MM2|

=5．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（Ⅱ）記（Ⅰ）中的軌跡為C，過點M（-2，3）的直線l被C所截得的線段的長為8，求直線l的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接利用距離的比，列出方程即可求點M的軌跡方程，然后說明軌跡是什么圖形；
（Ⅱ）設出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長滿足的勾股定理，求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，得

|MM1|

|MM2|

=5.

(x-26)2+(y-1)2

(x-2)2+(y-1)2

=5，
化簡，得x²+y²-2x-2y-23=0…（3分）
即（x-1）²+（y-1）²=25．
∴點M的軌跡方程是（x-1）²+（y-1）²=25，
軌跡是以（1，1）為圓心，以5為半徑的圓．…（6分）
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，l：x=-2，此時所截得的線段的長為2

52-32

=8，
∴l(xiāng)：x=-2符合題意．…（8分）
當直線l的斜率存在時，設l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
圓心到l的距離d=

|3k+2|

k2+1

，由題意，得（

|3k+2|

k2+1

）²+4²=5²，解得k=

5

12

．
∴直線l的方程為

5

12

x-y+

23

6

=0，即5x-12y+46=0．
綜上，直線l的方程為x=-2，或5x-12y+46=0…（12分）

點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓的位置關系的應用，考查計算能力．