Question

17．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）中心的直線交橢圓于A，B兩點，右焦點F₂（c，O），則三角形ABF₂面積的最大值為bc．

Answer 1

分析 先設(shè)點A，B的縱坐標(biāo)，然后表示出△ABF₂的面積，根據(jù)|OF₂|為定值c將問題轉(zhuǎn)化為求y₁的最大值的問題，根據(jù)|y₁|的范圍可求得最后答案．

解答 解：設(shè)面積為S，點A的縱坐標(biāo)為y₁，由于直線過橢圓中心，故B的縱坐標(biāo)為-y₁，
三角形的面積S=$\frac{1}{2}$|OF₂||y₁|+$\frac{1}{2}$|OF₂||-y₁|=|OF₂||y₁|，
由于|OF₂|為定值c，三角形的面積只與y₁有關(guān)，
又由于|y₁|≤b，
顯然，當(dāng)|y₁|=b時，三角形的面積取到最大值，為bc，此時，直線為y軸，
故答案為：bc．

點評 本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用和三角形面積的最大值問題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點也是熱點問題，每年必考，一定要好好準(zhǔn)備．