Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+k）（k為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)

（1）求k的值
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+sinx是區(qū)間[﹣1，1]上的減函數(shù)，且在x[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范圍
（3）討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ln（e^x+k）（k為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，
所以f（﹣0）=﹣f（0）
即f（0）=0，
則ln（e⁰+k）=0解得k=0，
顯然k=0時(shí)，f（x）=x是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)；
（2）由（1）得f（x）=x所以
因?yàn)間（x） 在[﹣1，1]上單調(diào)遞減，
在[﹣1，1]上恒成立，
_max=g（﹣1）=﹣1﹣sin1，
只需，
恒成立，
令
則解得t﹣1
（3）由（1）得f（x）=x
方程轉(zhuǎn)化為=x²﹣2e^x+m，
令F（x）=（x＞0），G（x）=x²﹣2e^x+m  （x＞0），
F'（x）=，
令F'（x）=0，
即=0，得x=e
當(dāng)x（0，e）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，e）上為增函數(shù)；
當(dāng)x（e，+）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（e，+）上為減函數(shù)；
當(dāng)x=e時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（e）=
而G（x）=（x﹣e）²+m﹣e²   （x＞0）
G（x）在（0，e）上為減函數(shù)，在（e，+）上為增函數(shù)；
當(dāng)x=e時(shí)，G（x）_min=m﹣e²
當(dāng)m﹣，即m＞時(shí)，方程無解；
當(dāng)m﹣，即m=時(shí)，方程有一個(gè)根；
當(dāng)m﹣，即m＜時(shí)，方程有兩個(gè)根；