Question

（2011•許昌三模）已知過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)，a是交點(diǎn)中橫坐標(biāo)的最大值，則

(1+a2)sin2a

2a

的值為

1

．

Answer 1

分析：依題意，過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)的圖象相切，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可求得切線方程，利用直線過(guò)原點(diǎn)，可求得α=tanα，代入所求關(guān)系式即可求得答案．

解答：解：因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）的圖象有且只有三個(gè)交點(diǎn)，
所以直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)的圖象相切，
在區(qū)間（π，2π）上，y的解析式為y=-sinx，
故由題意切點(diǎn)坐標(biāo)為（α，-sinα），
∴切線斜率k=y′=-cosx|_x=α=-cosα，
∴由點(diǎn)斜式得切線方程為：
y+sinα=-cosα（x-α），
∴y=-cosαx+αcosα-sinα，
∵直線過(guò)原點(diǎn)，
∴αcosα-sinα=0，得α=tanα．
∴

(1+α2)sin2α

2α

=

(1+tan2α)sin2α

2tanα

=

(1+ sin2α cos2α )×2sinαcosα

2× sinα cosα

=（1+

sin2α

cos2α

）×cos²α=cos²α+sin²α=1．
故答案為1

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與正弦曲線的交點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，求得α=tanα是關(guān)鍵，考查三角函數(shù)間的關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于難題．