Question

已知函數(shù)f（x）=x（1+x）²
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）設(shè)g（x）=ax²，若對(duì)于任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：因?yàn)閒（x）=x³+2x²+x
所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，
因?yàn)楫?dāng)x＜-1或時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)時(shí)f′（x）＜0
所以的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1）和（）
的單調(diào)減區(qū)間是
所以f（-1）=0是f（x）的極大值，是f（x）的極小值
（Ⅱ）f（x）-g（x）=x³+2x²+x-ax²=x[x²+（2-a）x+1]
由已知x[x²+（2-a）x+1]≥0（x＞0）恒成立，
因?yàn)閤∈（0，+∞），所以x²+（2-a）x+1≥0恒成立，
即恒成立．
因?yàn)閤＞0，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào)），
所以的最小值為2．由a-2≤2，得a≤4，
所以f（x）≥g（x）恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]
分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，再討論此二次函數(shù)的正負(fù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式
fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的極值；
（2）變形為兩個(gè)函數(shù)的差f（x）-g（x）≥0在x＞0時(shí)恒成立，再根據(jù)x∈（0，+∞）為正數(shù)，所以x²+（2-a）x+1≥0恒成立即為恒成立，利用基本不等式，可得a-2≤2，得a≤4．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值與最值，屬于中檔題．導(dǎo)數(shù)與不等式相結(jié)合是考試常見考點(diǎn)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．
（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，
（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為作差所函數(shù)恒正的問題，再根據(jù)正數(shù)的特征，將不等式變形為運(yùn)用基本不等式的形式，加以求解，這是典型的轉(zhuǎn)化化歸思想．