Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)于任意的n∈N*恒有S_n=2a_n-n，設(shè)b_n=log₂（a_n+1）。
(1)求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式a_n和b_n；
(3)若，證明：。

Answer 1

（1）證明：當(dāng)n=l時(shí)，，得；
∵當(dāng)n≥2時(shí)，
兩式相減得，，
∴，即，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。
（2）解：由（1）得，∴，
∴。
（3）證明：，
由為正項(xiàng)數(shù)列，所以也為正項(xiàng)數(shù)列，
從而
所以，數(shù)列遞減，
所以，。