Question

8．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂=4，a₃•a₅=256．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過等比中項可知a₄=16，從而公比q=$\sqrt{\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}}$=2，進而可得結論；
（2）通過（1）可知log₂a_n=n，利用等差數(shù)列的求和公式可知b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂項可知$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加即得結論．

解答 解：（1）依題意，a₃•a₅=${{a}_{4}}^{2}$=256，
∴a₄=16或a₄=-16（舍），
∴公比q=$\sqrt{\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=a₂•q^n-2=4•2^n-2=2ⁿ；
（2）由（1）可知，log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
∴b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=1+2+…+n
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，利用裂項相消法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．