Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=3a_n-1+3^n-1（n≥2），則a_n=n•3^n-1．

Answer 1

分析 由a_n=3a_n-1+3^n-1（n≥2），變形為$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n=3a_n-1+3^n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差數(shù)列，首項與公差都為$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n}{3}$，
∴a_n=n•3^n-1．
故答案為：n•3^n-1．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了變形能力與計算能力，屬于中檔題．