已知F1、F2分別是橢圓數(shù)學公式的左、右焦點，右焦點F2（c，0）到上頂點的距離為2，若a2=數(shù)學公式c，
（1）求此橢圓的方程；
（2）點A是橢圓的右頂點，直線y=x與橢圓交于M、N兩點（N在第一象限內），又P、Q是此橢圓上兩點，并且滿足數(shù)學公式，求證：向量數(shù)學公式與數(shù)學公式共線．

解：（1）由題知：
所以（4分）
（2）因為：，
從而與∠PNQ的平分線平行，
所以∠PNQ的平分線垂直于x軸；
由；得M（-1，-1）；N（1，1）
不妨設PN的斜率為k，則QN的斜率-k；因此PN和QN的方程分別為：
y=k（x-1）+1、y=-k（x-1）+1；其中k≠0；（8分）
由得；
（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0（*）
因為N（1，1）在橢圓上；所以x=1是方程（*）的一個根；
從而；（10分）
同理：；
從而直線PQ的斜率；
又A（2，0）、M（-1，-1）；
所以kAM=；所以kPQ=kAM；所以向量與共線．（14分）
分析：（1）利用條件找到關于右焦點F2（c，0）到上頂點的距離為2和a2=c，找到關于a，b，c的三個方程求出a，b，c即可．
（2）由?與∠PNQ的平分線平行?∠PNQ的平分線垂直于x軸；再把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出直線PQ與直線AM的斜率，利用斜率的關系得結論即可．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用以及橢圓方程的求法．關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，向量和的坐標和點的坐標的關系．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖南）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：
x25
+y2=1的左、右焦點F1，F(xiàn)2關于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b．當ab最大時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•青島二模）已知F1、F2分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線右支上的一點，
PF2
⊥
F1F2
，且|
PF1
|=
2
|
PF2
|，則雙曲線的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦點，過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且橢圓C的離心率e=
1
2
，F(xiàn)1也是拋物線C1：y2=-4x的焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F2的直線l交橢圓C于D，E兩點，且2
DF2
=
F2E
，點E關于x軸的對稱點為G，求直線GD的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，P是雙曲線的上一點，若
PF1
•
PF2
=0且|
PF1
|•|
PF2
|=3ab，則雙曲線的離心率是
 
．

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