Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+4．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷出f（x）在[-2，2]上的單調性，利用單調性求出最大值；
（2）令對稱軸在區(qū)間[-2，1]外部即可；
（3）按零點個數(shù)進行分情況討論．

解答 解：（1）當a=-1時，f（x）=x²+2x+4=（x+1）²+3．
∴f（x）在[-2，-1）上單調遞減，在[-1，2]上單調遞增．
∴函數(shù)f_max（x）=f（2）=12．
（2）函數(shù)f（x）的對稱軸為x=a，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，1]上是單調函數(shù)，
∴a≤-2或a≥1．
∴a的取值范圍為（-∞，-2]∪[1，+∞）．
（3）①若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上有且只有1個零點，
（i）當零點分別為-1或3時，則f（-1）=0或f（3）=0
∴a=-$\frac{5}{2}$或a=$\frac{13}{6}$；
（ii）當零點在區(qū)間（-1，3）上時，
若△=4a²-16=0，則a=2或a=-2．
當a=2時，函數(shù)f（x）的零點為x=2∈[-1，3]．
當a=-2時，函數(shù)f（x）的零點為x=-2∉[-1，3]．
∴a=2．
若△=4a²-16≠0，則a≠2且a≠-2．
∴f（-1）•f（3）＜0，解得a＜-$\frac{5}{2}$或a＞$\frac{13}{6}$．
②若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上有2個零點，則
$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜3}\\{4{a}^{2}-16＞0}\\{f（-1）＞0}\\{f（3）＞0}\end{array}\right.$，解得  2＜a＜$\frac{13}{6}$．
綜上所述：a的取值范圍是（-∞，-$\frac{5}{2}$]∪[2，+∞）

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調性，最值及零點個數(shù)與系數(shù)的關系，是中檔題．