Question

10．如圖，在△ABC中，D、E分別為AC，AB邊上的點，$\frac{CD}{DA}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，記$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow$．求證：$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法則、向量共線定理可得：$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$．

解答 證明：$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$．
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$．
即$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）．

點評 本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．