Question

已知函數(shù)f(x)=1-2sin2(x-

π

4

)，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上是否為增函數(shù)？并說明理由．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡可得解析式f（x）=sin2x，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，當k=0時，知f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上單調遞增，從而得解．

解答： 解：（本小題滿分13分）
（Ⅰ）因為f(x)=1-2sin2(x-

π

4

)=cos2(x-

π

4

)…（3分）=sin2x，…（5分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）結論：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上是增函數(shù)．…（9分）
理由如下：
由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，
所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，（k∈Z）．…（12分）
當k=0時，知f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上單調遞增，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上是增函數(shù)．…（13分）

點評：本題主要考察了二倍角的余弦公式的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基本知識的考查．