Question

10．求過(guò)點(diǎn)P（2，4），并且與圓（x-1）²+（y+3）²=1相切的直線(xiàn)方程．

Answer 1

分析 先判斷直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，是否滿(mǎn)足條件，若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓的切線(xiàn)斜率為k，寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程再化為一般式．根據(jù)圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑這一性質(zhì)，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出含k的方程，由方程解得k，然后代回所設(shè)切線(xiàn)方程即可．

解答 解：當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，方程為x=2，
此時(shí)圓心（1，-3）到x=2的距離等于圓的半徑1，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)所求切線(xiàn)的斜率為k，
由點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程為y-4=k（x-2），即kx-y-2k+4=0，
此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離d=$\frac{|k+3-2k+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=$\frac{24}{7}$，
此時(shí)切線(xiàn)的方程為：$\frac{24}{7}$x-y-$\frac{48}{7}$+4=0，即24x-7y-20=0，
綜上所述，過(guò)點(diǎn)P（2，4），并且與圓（x-1）²+（y+3）²=1相切的直線(xiàn)方程為：x=2，或24x-7y-20=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查切線(xiàn)方程．若點(diǎn)在圓外，所求切線(xiàn)有兩條，特別注意當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)的情況，不要漏解．