Question

已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，作∠CDE=∠CDF=α，交AC于F，交BC于E．請問當α為何值時，△DEF的面積最大并求出最大值．

Answer 1

考點：三角形的面積公式

專題：解三角形

分析：設AB=c，BC=a，CA=b．由三角形的面積可得CD=

ab

c

，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B． 在△CDF中，根據(jù)正弦定理可得：

DF

sinB

=

CD

sin(α+B)

，可得DF=

CDsinB

sin(α+B)

；同理，在△CDE中，根據(jù)正弦定理，有DE=

CDsinA

sin(α+A)

．△DEF的面積S=

1

2

DE•DFsin2α，代入化簡可得S=

a2b2

c2(cotAtanαcotB+cotA+cotB+cotα)

．由于cotA•cotB•tanα+cotα≥2

cotAcotB

=2，可得S≤

a2b2

c2(2+cotA+cotB)

．等號成立當且僅當tanα=cotα，即α=45°． 又考慮到cotA=

b

a

，cotB=

a

b

，可得最大面積S=

a3b3

c2(a+b)2

．

解答： 解：設AB=c，BC=a，CA=b．
由三角形的面積可得CD=

ab

c

，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B．
在△CDF中，根據(jù)正弦定理可得：

DF

sinB

=

CD

sin(α+B)

，可得DF=

CDsinB

sin(α+B)

；
同理，在△CDE中，根據(jù)正弦定理，有DE=

CDsinA

sin(α+A)

．
△DEF的面積S=

1

2

DE•DFsin2α
=

1

2

CD2sinAsinBsin2α

sin(α+A)sin(α+B)

=

a2b2

c2

•

sinAsinBsinαcosα

(sinαcosA+cosαsinA)(sinαcosB+cosαsinB)

=

a2b2

c2

•

1

(cotA+cotα)(tanαcotB+1)

=

a2b2

c2(cotAtanαcotB+cotA+cotB+cotα)

．
∵cotA•cotB•tanα+cotα≥2

cotAcotB

=2，
∴S≤

a2b2

c2(2+cotA+cotB)

，等號成立當且僅當tanα=cotα，即α=45°．
又考慮到cotA=

b

a

，cotB=

a

b

，
∴最大面積S=

a3b3

c2(a+b)2

．
因此當α=45°時，三角形的最大面積

a3b3

c2(a+b)2

．

點評：本題考查了直角三角形的面積計算公式、正弦定理、基本不等式的性質(zhì)、互余角的性質(zhì)、余切函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．