Question

函數(shù)f(x)=

1-x2

x+3

-m有零點(diǎn)的充要條件是

m∈[0，

2

4

]

．

Answer 1

分析：函數(shù)f(x)=

1-x2

x+3

-m有零點(diǎn)?

1-x2

=m(x-3)有實(shí)數(shù)解?y=

1-x2

與y=m（x-3）圖象有交點(diǎn)．由此能求出函數(shù)f(x)=

1-x2

x+3

-m有零點(diǎn)的充要條件．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1-x2

x+3

-m有零點(diǎn)，
∴

1-x2

x+3

-m=0有解，
即

1-x2

=m(x-3)有實(shí)數(shù)解，
∴y=

1-x2

與y=m（x-3）圖象有交點(diǎn)
∵函數(shù)y=

1-x2

（-1≤x≤1，0≤y≤1），
∴x²+y²=1  （-1≤x≤1，0≤y≤1）
圖象為半圓x²+y²=1，（-1≤x≤1，0≤y≤1），
函數(shù)y=m（x-3）圖象為過A（3，0）的一條直線．
過A（3，0）向半圓x²+y²=1，（-1≤x≤1，0≤y≤1）引切線，切點(diǎn)為Q，
∴OQ⊥AQ∴AQ=2

2

，
∴tan∠OAQ=

OQ

AQ

=

2

4

，
∴k_AQ=-

2

4

，
∴-

2

4

≤m≤0．
故答案為：m∈[0，

2

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．將有零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)曲線有交點(diǎn)的問題，從而使得代數(shù)問題幾何化是本題解答中的亮點(diǎn)．