已知向量
a
=（cosx，sinx），
b
=（6sinx，cosx），f（x）=
a
•（
b
-
a
）．
（Ⅰ）若x∈[0，
π
2
]，求函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
．若f（x）=2，求△ABC的面積．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）利用數(shù)量積運(yùn)算及其倍角公式可得f（x）=
a
•（
b
-
a
）=6sin2x-1．由x∈[0，
π
2
]，可得2x∈[0，π]，即可得出函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間及其值域．
（Ⅱ）由于|
a
|=1，|
b
|=6．利用數(shù)量積運(yùn)算可得f（x）=
a
•(
b
-
a
)=
a
•
b
-
a
2=2，即可得出cos＜
a
，
b
＞=
1
2
．利用S△ABC=
1
2
|
a
||
b
|sin＜
a
，
b
＞即可得出．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=
a
•（
b
-
a
）=（cosx，sinx）•（6sinx-cosx，6cosx-sinx）
=cosx（6sinx-cosx）+sinx（6cosx-sinx）
=12sinxcosx-1=6sin2x-1．
由x∈[0，
π
2
]，∴2x∈[0，π]，
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為[
π
4
，
π
2
]，且sin2x∈[0，1]．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[
π
4
，
π
2
]，值域?yàn)閇-1，5]．
（Ⅱ）∵|
a
|=1，|
b
|=6．
f（x）=
a
•(
b
-
a
)=
a
•
b
-
a
2=2，
∴6cos＜
a
，
b
＞-1=2，∴cos＜
a
，
b
＞=
1
2
．
∴＜
a
，
b
＞=
π
3
．
因此，S△ABC=
1
2
|
a
||
b
|sin＜
a
，
b
＞=
1
2
×1×6×sin
π
3
=
3
3
2
．
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算及其倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、向量的夾角公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lg
1+x
1+ax
（a≠1）是奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）+
2
1+2x
，x∈（-1，1），求g（
1
2
）+g（-
1
2
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

1號箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機(jī)取出一球，問：
（Ⅰ）從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？
（Ⅱ）從2號箱取出紅球的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)M（x，y）與兩定點(diǎn)M1，M2距離的比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程．并說明軌跡是什么圖形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
p
x
（p＞0），討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列推理是否正確？若不正確，指出錯(cuò)誤之處．
（1）求證：四邊形的內(nèi)角和等于360°．
證明：設(shè)四邊形ABCD是矩形，則它的四個(gè)角都是直角，有∠A+∠B+∠C+∠D=90°+90°+90°+90°=360°，所以四邊形的內(nèi)角和為360°．
（2）已知
2
和
3
都是無理數(shù)，試證：
2
+
3
也是無理數(shù)．
證明：設(shè)
2
和
3
都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，
所以
2
+
3
必是無理數(shù)．
（3）已知實(shí)數(shù)m滿足不等式（2m+1）（m+2）＜0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x2+2x+5-m2=0無實(shí)根．
證明：假設(shè)方程x2+2x+5-m2=0有實(shí)根．由已知實(shí)數(shù)m滿足不等式（2m+1）（m+2）＜0，解得-2＜m＜-
1
2
，又關(guān)于x的方程x2+2x+5-m2=0的判別式△=4-4（5-m2）=4（m2-4），∵-2＜m＜-
1
2
，∴
1
4
＜m2＜4，∴△＜0，即關(guān)于x的方程x2+2x+5-m2=0無實(shí)根．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b的雙曲線S的焦點(diǎn)在x軸上，直線y=-
3
x，|
OA
|2+|
OB
|2=
4
3
|
OA
|2•|
OB
|2
是雙曲線S的一條漸近線，而且原點(diǎn)O，點(diǎn)A（a，0）和點(diǎn)B（0，-b）使等式成立．
（Ⅰ）求雙曲線S的方程；
（Ⅱ）若雙曲線S上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l：y=kx+4對稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=loga
1+x
1-x
（a＞0，a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由； 
（2）若0＜a＜1，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=-
1
2
x2+3x-2lnx在[t，t+1]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
 
．

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