Question

6．已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ（其中n∈N^•）
（I）求a₀及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（Ⅱ）比較S_n與（n-2）2ⁿ+5的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在所給的等式中，令x=1可得a₀的值，取x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =3ⁿ，從而求得 S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n 的值．
（Ⅱ）令g（n）=（n-2）2ⁿ+5，檢驗(yàn)可得當(dāng)n≥3時(shí)，S_n＞g（n），再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答 解：（Ⅰ）由于（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ ，
取x=1，可得 a₀=2ⁿ．
取x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =3ⁿ，∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n =3ⁿ-2ⁿ，
（Ⅱ）令g（n）=（n-2）2ⁿ+5，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1，g（1）=3，S₁＜g（1）；
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=5，g（2）=5，S₂=g（2）；
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=19，g（3）=13，S₃＞g（3）；
當(dāng)n=1時(shí)，S₄=65，g（4）=37，S₄＞g（4）；
猜想當(dāng)n≥3時(shí)，均有S_n＞g（n）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 
①當(dāng)n=3時(shí)，顯然，S₃＞g（3），不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)不等式成立，即 S_k＞g（k），即3^k＞k•2^k-2^k+5．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，3^k+1=3•3^k＞3（k•2^k-2^k+5 ）=（3k-3）•2^k+15＞2k•2^k+5=k•2^k+1+5，
所以S_k+1＞g（k+1），…（11分）
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
根據(jù)①②知，對(duì)一切n≥3，n∈N，均有S_n＞g（n）．成立． 
綜上，當(dāng)n=1時(shí)，S_n＜g（n）；當(dāng) n=2時(shí)，均有S_n=g（n）；當(dāng)n≥3時(shí)，均有S_n＞g（n）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，用數(shù)學(xué)歸納法、放縮法證明不等式，屬于難題．