Question

已知圓的方程x²+y²=4，若拋物線過定點(diǎn)A（0，1），B（0，-1）且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程是（　�。�

• A．

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（y≠0）
• B．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（y≠0）
• C．

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（x≠0）
• D．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（x≠0）

Answer 1

分析：設(shè)出切線方程，表示出圓心到切線的距離求得a和b的關(guān)系，設(shè)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)A，B到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)的距離，然后兩式平方后分別相加和相減，聯(lián)立后求得x和y的關(guān)系式．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)為（a，b），∴a²+b²=4，則切線為：ax+by-4=0
設(shè)焦點(diǎn)（x，y），由拋物線定義可得：x²+（y-1）²=

|b-4|2

4

…①，
x²+（y+1）² =

|b+4|2

4

…②，
消去b得，

x2

3

+

y2

4

=1
∵焦點(diǎn)不能與A，B共線，∴x≠0
∴拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為

x2

3

+

y2

4

=1（x≠0）
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的定義，點(diǎn)到直線的距離公式，兩點(diǎn)間距離公式，曲線與方程的思想，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了學(xué)生綜合分析問題的能力，屬于中檔題．