Question

已知點A，B，C都在橢圓上，AB、AC分別過兩個焦點F₁、F₂，當時，有成立．
（1）求此橢圓的離心率；
（2）設．當點A在橢圓上運動時，求證m+n始終是定值．

Answer 1

解：（1）當時，74
∴．
由橢圓定義，得，
∴．
在Rt△AF₁F₂中，∵，
∴．∴．
（2）由，得，∴b=c．
橢圓方程化為，即x²+2y²=2b²．
焦點F₁（-b，0），F(xiàn)₂（b，0），
設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①當直線AC的斜率存在時，直線AC的方程為．
代入橢圓方程，得（3b²-2bx₀）y²+2by₀（x₀-b）y-b²y₀²=0．
∴，則．
∴．
同理可得．
②當直線AC的斜率不存在時，．
綜上所述，m+n是定值6.2
分析：（1）欲求橢圓的離心率，只需得到a，c的齊次式，根據當時，有成立，以及橢圓定義，即可得到．
（2）由（1）中求得的橢圓的離心率，可把橢圓化簡成只有一個參數的形式，求出焦點F1，F(xiàn)2坐標，設出直線AC的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再根據，分別用參數的式子表示m，n，計算m+n，消去參數，可得一定值，問題得證．
點評：本題考查了橢圓離心率的求法，以及直線和橢圓聯(lián)立，韋達定理得應用．