Question

已知F₁、F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在右支上存在點(diǎn)A，使得點(diǎn)F₂到直線AF₁的距離為2a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則直線AF₁的方程為 （m+c）y-n（x+c）=0，求出右焦點(diǎn)F₂（c，0）到該直線的距離，可得直線AF₁的方程為ax-by+ac=0，根據(jù)A是雙曲線上的點(diǎn)，可得b⁴-a⁴＞0，即可求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答： 解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則直線AF₁的方程為 （m+c）y-n（x+c）=0，
右焦點(diǎn)F₂（c，0）到該直線的距離

|n(c+c)|

(m+c)2+n2

=2a，
所以n=

b

a

（m+c），
所以直線AF₁的方程為ax-by+ac=0，
與

x2

a2

-

y2

b2

=1聯(lián)立可得（b⁴-a⁴）x²-2a⁴cx-a⁴c²-a²b⁴=0，
因?yàn)锳在右支上，所以b⁴-a⁴＞0，
所以b²-a²＞0，
所以c²-2a²＞0，
即e＞

2

．
故答案為：(

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．