Question

設函數f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞1)．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）當x∈[0，1）時，f（x）≥m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數奇偶性的定義進行判斷；
（Ⅱ）利用對數函數的單調性求f（x）的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）要使函數有意義，則

1+x

1-x

＞0，即（1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，即函數的定義域為（-1，1），關于原點對稱，
∵f(-x)=log?a

1-x

1+x

=log?a(

1+x

1-x

)-1=-log?a

1+x

1-x

，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）的是奇函數．
（Ⅱ）設u=

1+x

1-x

，則u=

1+x

1-x

=-

x+1

x-1

=-

x-1+2

x-1

=-1-

2

x-1

，
當0≤x＜1時，函數u為增函數，
∵a＞1，
∴y=log_au為增函數，
∴根據復合函數的單調性可知，當0≤x＜1時，函數f（x）為增函數，
∴f（x）≥f（0）=log_a1=0，要使當x∈[0，1）時，f（x）≥m恒成立，
則m≤0．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及對數函數的性質，利用復合函數的單調性是解決函數最值的關鍵．