Question

【題目】設函數(shù). 若曲線y=在點P(e,f(e))處的切線方程為y=2x-e（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，試比較與的大小，并予以證明.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) 當時，≥（當且僅當a=b時取等號）.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）等價于證明f（a）+f（b）﹣2f（）＞0，變形表達式為，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性使得最小值大于0即可.

解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.

.

依題意得，即

所以.

所以，.

當時, ; 當時, .

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是, 單調(diào)遞增區(qū)間是.

（Ⅱ）當時，.

等價于，

也等價于

不妨設，

設（）,

則.

當時，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

即，

故當時，（當且僅當時取等號）.

令，則，

即（當且僅當時取等號），

綜上所述，當時，≥（當且僅當a=b時取等號）.