Question

已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)的值域是[6，+∞），求實數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表達式．

Answer 1

解：（1）由已知，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
∴，…（4分）
∴，∴3^m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x²=t，∵x∈[1，2]，
∴，
原題即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°當(dāng)，即a＞16時，f（t）在[1，4]上是減函數(shù)，此時，…（9分）
2°當(dāng)，即1≤a≤16時，，
3°當(dāng)，即0＜a＜1時，f（t）在[1，4]上是增函數(shù)，此時g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=
分析：（1）函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域是[6，+∞），即可求實數(shù)m的值；
（2）令x²=t，從而問題可轉(zhuǎn)化為f（t）在[1，4]上的最小值，分類討論：1°當(dāng)，即a＞16時，f（t）在[1，4]上是減函數(shù)；2°當(dāng)，即1≤a≤16時，；3°當(dāng)，即0＜a＜1時，f（t）在[1，4]上是增函數(shù)，故可求最小值g（a）的表達式．
點評：本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性，解決函數(shù)的最值問題．