Question

選修4-1：
如圖，點(diǎn)A是以線(xiàn)段BC為直徑的圓O上一點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線(xiàn)，與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，連接CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)P．
（1）求證：BF=EF；
（2）求證：PA是圓O的切線(xiàn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行線(xiàn)截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，再結(jié)合已知條件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，得到∠FAO=∠EBO，結(jié)合BE是圓的切線(xiàn)，得到PA⊥OA，從而得到PA是圓O的切線(xiàn)．
解答：證明：（1）∵BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線(xiàn)，∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．
可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
∴，得．
∵G是AD的中點(diǎn)，即DG=AG．
∴BF=EF．
（2）連接AO，AB．
∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°．
由（1）得：在Rt△BAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點(diǎn)，
∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．
∵BE是圓O的切線(xiàn)，
∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA⊥OA，由圓的切線(xiàn)判定定理，得PA是圓O的切線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題求證直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，著重考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和圓的切線(xiàn)判定定理等知識(shí)，屬于中檔題．