Question

如圖所示，f（x）是定義在區(qū)間[-c，c]（c＞0）上的奇函數(shù)，令g（x）=af（x）+b，并有關(guān)于函數(shù)g（x）的五個(gè)論斷：
①若a＞0，對(duì)于[-1，1]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②若a=-1，-2＜b＜0，則方程g（x）=0有大于2的實(shí)根
③函數(shù)g（x）的極大值為2a+b，極小值為-2a+b；
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個(gè)實(shí)數(shù)根；
⑤?a∈R，g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①對(duì)于[-c，c]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行判斷；
②由g（x）=0，得到方程f（x）=b，利用圖象進(jìn)行判斷．
③函數(shù)g（x）的極值如a的符號(hào)有關(guān)系．
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個(gè)實(shí)數(shù)根，由函數(shù)的圖象及參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷．
⑤?a∈R，則由g（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)g'（x）有多少個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：①函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上為增函數(shù)，故當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=af（x）+b在[-1，1]上也為增函數(shù)
故①正確；
②當(dāng)a=-1時(shí)，-f（x）仍是奇函數(shù)，2仍是它的一個(gè)零點(diǎn)，但單調(diào)性與f（x）相反，若再加b，-2＜b＜0，則圖象又向下平移-b個(gè)單位長(zhǎng)度，所以g（x）=-f（x）+b=0有大于2的實(shí)根，所以②正確；
③因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的極大值為f（1）=2，極小值為f（-1）=-2，由于a的符號(hào)不確定，所以函數(shù)g（x）的極值是不確定的，所以③錯(cuò)誤．
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個(gè)實(shí)數(shù)根，本題中沒有具體限定b的范圍，故無法判斷g（x）=0有幾個(gè)根；所以④錯(cuò)誤．
⑤?a∈R，由g（x）的極值點(diǎn)有兩個(gè)，判斷導(dǎo)函數(shù)g'（x）有2個(gè)零點(diǎn)．所以⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，求解本題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)的圖象變換的方式與系數(shù)的關(guān)系以及與所加的常數(shù)的關(guān)系的理解與運(yùn)用．